Gauso ir parabolės tyrimas eksperimentinės lempos šviesos srautams: 6 žingsniai

2024 Autorius: John Day | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-30 10:44

Sveiki visi kūrėjai ir šurmuliuojanti „Instructable“bendruomenė.

Šį kartą „Merenel Research“pateiks jums gryną tyrimo problemą ir būdą, kaip ją išspręsti naudojant matematiką.

Aš pati susidūriau su šia problema, kai skaičiavau savo sukurtos (ir kurią aš išmokysiu kurti) RGB LED lempos šviesos diodų srautus. Plačiai ieškojęs internete neradau atsakymo, todėl čia skelbiu sprendimą.

PROBLEMA

Labai dažnai fizikoje turime susidurti su kreivėmis, turinčiomis Gauso skirstinio formą. Taip! Tai varpo formos kreivė, naudojama tikimybei apskaičiuoti, ir atkeliavo iš didžiojo matematiko Gauso.

Gauso kreivė yra plačiai naudojama realaus gyvenimo fizinėse programose, ypač kai turime susidoroti su spinduliuote, skleidžiama iš šaltinio arba gauta iš imtuvo, pavyzdžiui:

- radijo signalo (pvz., „Wi-Fi“) galios skleidimas;

- šviesos srautas, kurį skleidžia šviesos diodas;

- fotodiodo nuskaitymas.

Gamintojo duomenų lape mums dažnai pateikiama tikroji Gauso srities vertė, kuri būtų visa spinduliuotės galia arba šviesos srautas tam tikroje spektro dalyje (pvz., LED), tačiau tampa sunku apskaičiuoti tikrąją spinduliuotę skleidžiama kreivės smailėje arba dar sunkiau žinoti dviejų artimų šaltinių sutampančią spinduliuotę, pavyzdžiui, jei apšviečiame daugiau nei šviesos diodais (pvz., mėlyna ir žalia).

Šiame instrukciniame dokumente aš jums paaiškinsiu, kaip aproksimuoti Gauso kreivę, kurią lengviau suvokti: parabolę. Atsakysiu į klausimą: kiek Gauso kreivių yra parabolėje?

SPOILER → ATSAKYMAS:

Gauso plotas visada yra 1 vienetas.

Atitinkamos parabolės, turinčios tą pačią bazę ir aukštį, plotas yra 2,13 karto didesnis už santykinį Gauso plotą (grafinį vaizdą žr. Paveikslėlyje).

Taigi Gausas sudaro 46,94% jo parabolės ir šis santykis visada teisingas.

Šie du skaičiai yra susiję 0,46948 = 1/2,13, tai yra griežtas matematinis ryšys tarp Gauso kreivės ir jos parabolės ir atvirkščiai.

Šiame vadove aš jums padėsiu tai sužinoti žingsnis po žingsnio.

Vienintelis įrankis, kurio mums prireiks, yra Geogebra.org, puikus internetinis matematinis įrankis diagramoms piešti.

Šioje nuorodoje rasite mano sukurtą „Geogebra“diagramą, palyginančią parabolę su Gauso diagrama.

Šis nurodymas yra ilgas, nes jis skirtas demonstravimui, bet jei turite greitai išspręsti tą pačią problemą, kurią turėjau su šviesos diodų šviesos srautais, arba kitą reiškinį su persidengiančiomis Gauso kreivėmis, tiesiog pereikite prie skaičiuoklės, kurią rasite pridėję prie veiksmo 5 šio vadovo, kuris palengvins jūsų gyvenimą ir automatiškai atliks visus skaičiavimus už jus.

Tikiuosi, kad jums patinka taikomoji matematika, nes ši pamoka yra apie tai.

1 žingsnis: supraskite iš monochromatinės šviesos diodo skleidžiamą šviesą

Šioje analizėje aš apsvarstysiu spalvotų šviesos diodų seriją, kaip jūs aiškiai matote iš jų spektro diagramos (pirmoji nuotrauka), jų spektrinis galios pasiskirstymas tikrai atrodo kaip Gauso, kuris susilieja į x ašį esant -33 ir +33 nm vidurkiui (gamintojai paprastai pateikia šią specifikaciją). Tačiau nepamirškite, kad šios diagramos vaizdas normalizuoja visus vieno maitinimo bloko spektrus, tačiau šviesos diodų galia skiriasi, atsižvelgiant į tai, kaip efektyviai jie gaminami ir kiek elektros srovės (mA) į juos tiekiate.

Kaip matote, dviejų šviesos diodų šviesos srautas spektre sutampa. Tarkime, kad aš lengvai noriu apskaičiuoti tų kreivių persidengiančią sritį, nes toje srityje bus dvigubas galios kiekis ir noriu žinoti, kiek galių liumenų tempuose (lm) mes ten turime, na, taip nėra lengva užduotis, į kurią bandysime atsakyti šiame vadove. Problema kilo todėl, kad kurdama eksperimentinę lempą tikrai norėjau sužinoti, kiek mėlynos ir žalios spalvos spektras sutampa.

Mes sutelksime dėmesį tik į vienspalvius šviesos diodus, kurie skleidžia siaurą spektro dalį. Diagramoje: ROYAL BLUE, BLUE, GREEN, ORANGE-RED, RED. (Tikroji mano pastatyta lempa yra RGB)

FIZIKOS PAGRINDAS

Šiek tiek atsukime ir iš pradžių šiek tiek paaiškinkime fiziką.

Kiekvienas šviesos diodas turi spalvą, arba daugiau moksliškai sakytume, kad turi bangos ilgį (λ), kuris jį nustato ir kuris matuojamas nanometrais (nm) ir λ = 1/f, kur f yra fotono virpesių dažnis.

Taigi tai, ką mes vadiname RAUDONA, iš esmės yra (puiki) fotonų krūva, kuri svyruoja esant 630 nm, tie fotonai patenka į materiją ir atsimuša į mūsų akis, kurie veikia kaip receptoriai, o tada jūsų smegenys apdoroja objekto spalvą kaip RAUDONA; arba fotonai gali patekti tiesiai į akis ir pamatysite juos skleidžiantį šviesos diodą, švytintį RAUDONA spalva.

Buvo atrasta, kad tai, ką mes vadiname šviesa, iš tikrųjų yra tik maža elektromagnetinio spektro dalis - nuo 380 nm iki 740 nm; taigi šviesa yra elektromagnetinė banga. Įdomu dėl tos spektro dalies, kad būtent spektro dalis lengviau praeina per vandenį. Spėk? Mūsų senovės protėviai iš Pirminės sriubos iš tikrųjų buvo vandenyje, o būtent vandenyje pirmosios, sudėtingesnės, gyvos būtybės pradėjo kurti akis. Siūlau pažiūrėti mano pridėtą Kurzgesagto vaizdo įrašą, kad geriau suprastumėte, kas yra šviesa.

Apibendrinant, šviesos diodas skleidžia šviesą, kuri yra tam tikras radiometrinės galios (mW) kiekis tam tikru bangos ilgiu (nm).

Paprastai, kai mes susiduriame su matoma šviesa, mes nekalbame apie radiometrinę galią (mW), bet apie šviesos srautą (lm), kuris yra matavimo vienetas, sveriamas reaguojant į matomą žmonių akių šviesą. kandelos matavimo vienetas, ir jis matuojamas liumenu (lm). Šiame pristatyme mes apsvarstysime liumenų skleidžiamus šviesos diodus, tačiau viskas bus taikoma mW lygiai taip pat.

Bet kuriame šviesos diodų duomenų lape gamintojas suteiks jums tokią informaciją:

Pavyzdžiui, iš šio pridedamo duomenų lapo matote, kad jei abu maitinsite 100 mA srovę, turėsite tai:

BLUE yra 480 nm ir turi 11 lm šviesos srautą;

ŽALIA yra 530 nm ir turi 35 lm šviesos srautą.

Tai reiškia, kad Gauso mėlynos spalvos kreivė bus aukštesnė, ji labiau pakils, nekeisdama savo pločio ir svyruos aplink mėlynąja linija ribotą dalį. Šiame darbe paaiškinsiu, kaip apskaičiuoti Gauso aukštį, išreiškiančią visą didžiausią šviesos diodo skleidžiamą galią, ne tik tą spektro dalį skleidžiamą galią, deja, ši vertė bus mažesnė. Be to, pabandysiu apytiksliai sutapti dviejų šviesos diodų dalį, kad suprastų, kiek šviesos srautas sutampa, kai mes susiduriame su šviesos diodais, kurie yra „kaimynai“spektre.

Šviesos diodų srauto matavimas yra labai sudėtingas dalykas, jei norite sužinoti daugiau, įkėliau išsamų „Osram“dokumentą, kuriame paaiškinama, kaip viskas daroma.

2 žingsnis: įvadas į parabolę

Nesigilinsiu į tai, kas yra parabolė, nes ji plačiai tiriama mokykloje.

Parabolės lygtis gali būti parašyta tokia forma:

y = kirvis^2+bx+c

MUMS PADEDA ARCHIMEDIJA

Norėčiau pabrėžti svarbią Archimedo geometrinę teoremą. Teorema sako, kad parabolės plotas, apribotas stačiakampiu, yra lygus 2/3 stačiakampio ploto. Pirmame paveikslėlyje su parabolu matote, kad mėlyna zona yra 2/3, o rožinė - 1/3 stačiakampio ploto.

Parabolę ir jos lygtį galime apskaičiuoti žinodami tris parabolės taškus. Mūsų atveju mes apskaičiuosime viršūnę ir žinome sankirtas su x ašimi. Pavyzdžiui:

MĖLYNA LED viršūnė (480,?) Viršūnės Y yra lygi šviesos galiai, skleidžiamai didžiausiu bangos ilgiu. Norėdami jį apskaičiuoti, naudosime ryšį tarp Gauso srities (faktinis šviesos diodo skleidžiamas srautas) ir parabolės sritį ir naudosime Archimedo teoremą, kad žinotume stačiakampio, kuriame yra ta parabolė, aukštį.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLINIS MODELIS

Žiūrėdami į mano įkeltą paveikslėlį, galite pamatyti sudėtingą modelį, vaizduojantį parabolas keletą skirtingų šviesos diodų šviesos srautų, tačiau žinome, kad jų atvaizdavimas nėra toks, nes jis labiau primena Gauso modelį.

Tačiau, naudodamiesi parabolėmis, naudodami matematines formules, galime rasti visų kelių parabolių susikirtimo tašką ir apskaičiuoti susikertančias sritis.

5 veiksme pridėjau skaičiuoklę, į kurią įdėjau visas formules, skirtas apskaičiuoti visas monochromatinių šviesos diodų parabolas ir jų susikertančias sritis.

Paprastai šviesos diodo Gauso bazė yra didelė 66 nm, taigi, jei žinome dominuojantį bangos ilgį ir apytiksliai palyginame šviesos diodo spinduliuotę, žinome, kad santykinė parabolė susikers x ašį λ+33 ir λ-33.

Tai modelis, kuris apytiksliai parodo bendrą LED skleidžiamą šviesą su parabole. Tačiau mes žinome, kad jei norime būti tikslūs, tai nėra visiškai teisinga, turėtume naudoti Gauso kreives, kurios atveda mus į kitą žingsnį.

3 žingsnis: Gauso kreivės įvadas

Gauso kalba - tai kreivė, kuri skambės sudėtingiau nei parabolė. Jį išrado Gaussas klaidoms interpretuoti. Tiesą sakant, šioje kreivėje labai naudinga pamatyti tikimybės reiškinio pasiskirstymą. Kalbant apie kairę arba į dešinę nuo vidurkio, tam tikras reiškinys pasitaiko rečiau ir, kaip matote iš paskutinės nuotraukos, ši kreivė labai gerai atspindi realaus gyvenimo įvykius.

Gauso formulė yra bauginanti, kurią matote kaip antrą paveikslą.

Gauso savybės yra šios:

- tai simetriška pagarba vidurkiui;

- x = μ ne tik sutampa su aritmetiniu vidurkiu, bet ir su mediana bei režimu;

- jis yra asimptominis x ašyje iš kiekvienos pusės;

- jis sumažėja xμ;

- jis turi du lankstymo taškus x = μ-σ;

- plotas po kreive yra 1 vienetas (tai yra tikimybė, kad bet kuris x patikrins)

σ yra standartinis nuokrypis, kuo didesnis skaičius, tuo platesnė Gauso bazė (pirmoji nuotrauka). Jei reikšmė yra 3σ dalyje, žinotume, kad ji tikrai tolsta nuo vidurkio ir yra mažesnė tikimybė, kad tai įvyks.

Mūsų atveju, naudojant šviesos diodus, mes žinome Gauso sritį, kuri yra šviesos srautas, nurodytas gamintojo duomenų lape tam tikroje bangos ilgio smailėje (tai yra vidurkis).

4 žingsnis: demonstracija naudojant „Geogebra“

Šiame skyriuje aš jums pasakysiu, kaip naudoti „Geogebra“parodyti, kad parabolė yra 2,19 karto didesnė už Gauso.

Pirmiausia turite sukurti keletą kintamųjų, spustelėdami slankiklio komandą:

Standartinis nuokrypis σ = 0,1 (standartinis nuokrypis apibrėžia, kokia plati yra Gauso kreivė, aš įdėjau nedidelę vertę, nes norėjau ją susiaurinti, kad imituotų LED spektrinį galios pasiskirstymą)

Vidurkis yra 0, todėl Gausas yra pastatytas ant y ašies, kur lengviau dirbti.

Spustelėkite mažos bangos funkciją, kad suaktyvintumėte funkcijų skyrių; ten spustelėję fx galite įterpti Gauso formulę ir ekrane pasirodys graži aukšta Gauso kreivė.

Grafiškai pamatysite, kur kreivė susilieja x ašyje, mano atveju X1 (-0,4; 0) ir X2 (+0,4; 0), o kur viršūnė yra V (0; 4).

Turėdami šį tris taškus, turite pakankamai informacijos, kad surastumėte parabolės lygtį. Jei nenorite skaičiuoti ranka, kitame žingsnyje naudokite šią svetainę arba skaičiuoklę.

Naudokite funkcijos komandą (fx), kad užpildytumėte ką tik rastą parabolės funkciją:

y = -25x^2 +4

Dabar turime suprasti, kiek gausų yra parabolėje.

Turėsite naudoti funkcijos komandą ir įterpti komandą „Integral“(arba mano atveju „Integrale“, nes naudojau itališką versiją). Neabejotinas integralas yra matematinė operacija, leidžianti apskaičiuoti funkcijos plotą, apibrėžtą tarp x reikšmių. Jei neprisimenate, kas yra aiškus integralas, skaitykite čia.

a = integralas (f, -0,4, +0,4)

Ši Geogebros formulė išspręs apibrėžtą integralą tarp funkcijos f, Gauso, nuo -0,4 iki +0,4. Kadangi mes susiduriame su Gauso regionu, jo plotas yra 1.

Padarykite tą patį su parabole ir atrasite magišką skaičių 2.13. Kuris yra pagrindinis skaičius, leidžiantis atlikti visas šviesos srauto konversijas naudojant šviesos diodus.

5 žingsnis: realaus gyvenimo pavyzdys su šviesos diodais: srauto smailės ir persidengiančių srautų skaičiavimas

ŠVIESOJI PŪSLĖ PIKOJE

Dabar, kai atradome konversijos koeficientą 2,19, apskaičiuoti faktinį LED srauto pasiskirstymo Gauso kreivių aukštį.

pavyzdžiui:

BLUE LED turi 11lm šviesos srautą

- mes konvertuojame šį srautą iš Gauso į parabolinį 11 x 2,19 = 24,09

- mes naudojame Archimedo teoremą, kad apskaičiuotume santykinį stačiakampio plotą, kuriame yra parabolė 24,09 x 3/2 = 36,14

- randame to mėlynojo Gauso pagrindo dalijamojo stačiakampio aukštį, skirtą MĖLYNAI LED lemputei, nurodytą duomenų lape arba matomą duomenų lapo diagramoje, paprastai apie 66 nm, ir tai yra mūsų galia 480 nm viršūnėje: 36,14 / 66 = 0.55

APSAUGINANČIOS ŠVIEČIANČIOS PLAUKO SrityS

Norėdami apskaičiuoti dvi sutampančias spinduliuotes, paaiškinsiu pavyzdžiu su šiais dviem šviesos diodais:

Mėlyna yra 480 nm ir turi 11 lm šviesos srautą ŽALIAS yra 530 nm ir turi 35 lm šviesos srautą

Mes žinome ir matome iš diagramos, kad abi Gauso kreivės susilieja su -33 nm ir +33 nm, todėl žinome, kad:

- MĖLYNA kerta x ašį 447 nm ir 531 nm

- ŽALIA kerta x ašį 497 nm ir 563 nm

Mes aiškiai matome, kad abi kreivės susikerta, nes vienas pirmosios galas yra po kitos pradžios (531 nm> 497 nm), todėl šių dviejų šviesos diodų šviesa kai kuriuose taškuose sutampa.

Pirmiausia turime apskaičiuoti abiejų parabolės lygtį. Pridedama skaičiuoklė padės jums apskaičiuoti ir įterpė formules, kurios padės išspręsti lygčių sistemą, kad būtų galima nustatyti dvi parabolas, žinančias x ašies susikertančius taškus ir viršūnę:

MĖLYNA parabolė: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

ŽALIA parabolė: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

abiem atvejais a> 0 ir, taigi parabolė teisingai nukreipta aukštyn kojom.

Norėdami įrodyti, kad šios parabolės yra teisingos, tiesiog užpildykite a, b, c šios parabolės skaičiuoklės svetainės viršūnių skaičiuoklėje.

Skaičiuoklėje visi skaičiavimai jau atlikti, kad būtų rasti sankirtos taškai tarp parabolių ir apskaičiuotas neabejotinas integralas, kad būtų gautos tų parabolių susikertančios sritys.

Mūsų atveju mėlynos ir žalios šviesos diodų spektrų susikertančios sritys yra 0,4247.

Turėdami susikertančias paraboles, galime padauginti šią naujai susikirtusią sritį Gauso koeficientui 0,4694 ir rasti labai artimą apytikslę apytikslę šviesos diodų iš viso skleidžiamos galios apimtį toje spektro dalyje. Norėdami rasti atskirą šviesos diodų srautą, skleidžiamą toje skiltyje, tiesiog padalinkite iš 2.

6 žingsnis: eksperimentinės lempos monochromatinių šviesos diodų tyrimas baigtas

Na, labai ačiū, kad perskaitėte šį tyrimą. Tikiuosi, kad jums bus naudinga giliai suprasti, kaip šviesa skleidžiama iš lempos.

Aš studijavau specialios lempos, pagamintos iš trijų tipų vienspalvių šviesos diodų, šviesos diodų srautus.

Šiai lempai gaminti reikalingi „ingredientai“:

- 3 LED BLU

- 4 ŽALI LED

- 3 raudonos šviesos diodai

- 3 rezistoriai, ribojantys srovę LED grandinės šakose

- 12V 35W maitinimo šaltinis

- Reljefinis akrilo dangtelis

- OSRAM OT BLE DIM valdymas („Bluetooth“LED valdymo blokas)

- Aliuminio radiatorius

- M5 paryškinimai ir veržlės bei L skliausteliuose

Valdykite viską naudodami „Casambi APP“iš savo išmaniojo telefono, galite įjungti ir pritemdyti kiekvieną LED kanalą atskirai.

Pastatyti lempą yra labai paprasta:

- pritvirtinkite šviesos diodą prie radiatoriaus dvipuse juosta;

- lituokite visus BLU šviesos diodus nuosekliai su rezistoriumi ir darykite tą patį su kita spalva kiekvienai grandinės šakai. Pagal jūsų pasirinktus šviesos diodus (aš naudojau „Lumileds LED“) turėsite pasirinkti rezistoriaus dydį pagal tai, kiek srovės pateksite į šviesos diodą, ir į bendrą 12 V maitinimo šaltinio įtampą. Jei nežinote, kaip tai padaryti, siūlau perskaityti šią puikią instrukciją, kaip nustatyti rezistoriaus dydį, kad būtų apribota šviesos diodų serijos srovė.

-prijunkite laidus prie kiekvieno „Osram OT BLE“kanalo: visi pagrindiniai šviesos diodų šakų teigiami elementai eina į bendrą (+), o trys atšakų neigiami -atitinkamai į -B (mėlyna) -G (žalia)) -R (raudona).

- Prijunkite maitinimo šaltinį prie „Osram OT BLE“įvesties.

Dabar „Osram OT BLE“yra įdomu tai, kad galite kurti scenarijus ir užprogramuoti LED kanalus, kaip matote pirmoje vaizdo įrašo dalyje, aš pritemdžiau tris kanalus, o antroje vaizdo įrašo dalyje naudoju kai kuriuos iš anksto sukurti šviesos scenarijai.

IŠVADOS

Aš plačiai naudojau matematiką, kad giliai suprasčiau, kaip sklistų šių lempų srautai.

Labai tikiuosi, kad šiandien sužinojote ką nors naudingo, ir aš padarysiu viską, kas įmanoma, kad pavyktų pamokyti daugiau tokių gilių taikomųjų tyrimų atvejų, kaip šis.

Tyrimai yra raktas!

Taip ilgai!

Pietro