Brachistochrono kreivė: 18 žingsnių (su nuotraukomis)

2024 Autorius: John Day | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-30 10:46

Brachistochrono kreivė yra klasikinė fizikos problema, kuri lemia greičiausią kelią tarp dviejų taškų A ir B, kurie yra skirtinguose aukščiuose. Nors ši problema gali atrodyti paprasta, ji duoda priešingą intuityvų rezultatą ir todėl yra patraukli žiūrėti. Šioje instrukcijoje sužinosite apie teorinę problemą, surasite sprendimą ir galiausiai sukursite modelį, kuris parodytų šio nuostabaus fizikos principo savybes.

Šis projektas skirtas vidurinių mokyklų studentams, nes jie apima susijusias sąvokas teorijos pamokose. Šis praktinis projektas ne tik sustiprina jų suvokimą šia tema, bet ir siūlo kelių kitų sričių, kurias reikia plėtoti, sintezę. Pavyzdžiui, kurdami modelį, studentai mokysis optikos per Snello dėsnį, kompiuterinį programavimą, 3D modeliavimą, skaitmeninį suskaidymą ir pagrindinius medžio apdirbimo įgūdžius. Tai leidžia visai klasei pasidalinti darbą tarpusavyje, kad tai būtų komandos darbas. Šiam projektui atlikti reikia maždaug savaitės, o vėliau jį galima parodyti klasei ar jaunesniems mokiniams.

Nėra geresnio būdo mokytis nei per STEM, todėl toliau kurkite savo brachistochrono modelį. Jei jums patinka projektas, balsuokite už jį klasių konkurse.

1 žingsnis: teorinė problema

Brachistochrono problema yra ta, kuri sukasi ieškant kreivės, jungiančios du taškus A ir B, esantys skirtinguose aukščiuose, kad B nebūtų tiesiai žemiau A, taigi marmuro nuleidimas veikiant vienodam gravitaciniam laukui šiuo keliu pasiekti B kuo greičiau. Problemą iškėlė Johanas Bernoulli 1696 m.

Kai 1696 m. Birželio mėn. Johannas Bernoullis paklausė brachistochrono problemos „Acta Eruditorum“, kuris buvo vienas iš pirmųjų Europos vokiškai kalbančių žemių mokslo žurnalų, skaitytojams, jis gavo atsakymus iš 5 matematikų: Isaako Newtono, Jakobo Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus ir Guillaume de l'Hôpital kiekvienas turi unikalų požiūrį!

Įspėjimas: šie veiksmai pateikia atsakymą ir atskleidžia šio greičiausio kelio grožį. Skirkite šiek tiek laiko ir pamąstykite apie šią problemą, galbūt galite ją įveikti kaip vieną iš šių penkių genijų.

2 žingsnis: demonstruokite Snellio dėsnį

Vienas iš būdų, kaip išspręsti brachistochrono problemą, yra išspręsti šią problemą, nubraižant Snello dėsnį. Snello dėsnis naudojamas apibūdinti kelią, kuriuo šviesos spindulys eitų iš vieno taško į kitą, pereidamas per dvi skirtingas terpes, naudojant Fermato principą, pagal kurį šviesos spindulys visada eis greičiausiu keliu. Oficialų šios lygties išvestį galite rasti apsilankę šioje nuorodoje.

Kadangi laisvai krentantis objektas, veikiamas gravitacinio lauko, gali būti lyginamas su šviesos spinduliu, pereinančiu per kintančią terpę, kiekvieną kartą, kai šviesos spindulys susiduria su nauja terpe, spindulys šiek tiek nukrypsta. Šio nuokrypio kampą galima apskaičiuoti naudojant Snello dėsnį. Toliau pridedant mažinančio tankio sluoksnius prieš nukrypusią šviesos spindulį, kol spindulys pasiekia kritinį kampą, kur pluoštas tiesiog atsispindi, spindulio trajektorija apibūdina brachistochrono kreivę. (raudona kreivė aukščiau esančioje diagramoje)

Brachistochrono kreivė iš tikrųjų yra cikloidas, kuris yra kreivė, kurią nubrėžia apskrito rato ratlankio taškas, kai ratas rieda tiesia linija neslystant. Taigi, jei mums reikia nupiešti kreivę, ją generuoti galima tiesiog naudoti aukščiau pateiktą metodą. Kita unikali kreivės savybė yra ta, kad kamuolys, paleistas iš bet kurio kreivės taško, užtruks lygiai tiek pat laiko, kad pasiektų dugną. Šie veiksmai apibūdina klasėje atliekamo eksperimento atlikimo procesą, sukuriant modelį.

3 žingsnis: praktinio eksperimento modelis

Modelis susideda iš lazerio pjūvio takų, kurie veikia kaip rutuliukai. Norėdami parodyti, kad brachistochrono kreivė yra greičiausias kelias iš taško A į B, nusprendėme ją palyginti su dviem kitais keliais. Kadangi nemažai žmonių intuityviai manytų, kad trumpiausia dalis yra greičiausia, nusprendėme antruoju keliu pastatyti tiesų šlaitą, jungiantį abu taškus. Trečiasis yra stačia kreivė, nes būtų manoma, kad staigus kritimas sukeltų pakankamai greitį, kad įveiktų likusius.

Antrasis eksperimentas, kurio metu rutuliai paleidžiami iš skirtingų aukščių trimis brachistochrono takais, pasiekiami tuo pačiu metu. Taigi mūsų modelyje yra 3D spausdinti vadovai, kurie užtikrina lengvą akrilo plokščių pakeitimą, leidžiantį atlikti abu eksperimentus.

Galiausiai atleidimo mechanizmas užtikrina, kad rutuliai būtų numesti kartu, o apačioje esantis laiko modulis įrašo laiką, kai rutuliai pasiekia dugną. Norėdami tai pasiekti, mes įdėjome tris ribinius jungiklius, kurie įjungiami, kai rutuliai jį suaktyvina.

Pastaba: galima tiesiog nukopijuoti šį dizainą ir padaryti jį iš kartono ar kitų lengvai prieinamų medžiagų

4 žingsnis: reikalingos medžiagos

Čia yra dalys ir reikmenys, padedantys sukurti brachistochrono eksperimento modelį

Aparatūra:

Pušies medžio lentos matmenys: 100 cm x 10 cm

Neodimio magnetas 4 - matmenys; 1 cm skersmens ir 0,5 cm aukščio

3D spausdinimo siūlai- PLA arba ABS yra tinkami

M3 srieginis įdėklas x 8 - (neprivaloma)

M3 varžtas x 8 - 2,5 cm ilgio

Medinis varžtas x 3 - 6 cm ilgio

Medinis sraigtas 12 - 2,5 cm ilgio

ELEKTRONIKA:

Arduino Uno

Ribinis jungiklis 4- šie jungikliai veiks kaip laiko sistema

Mygtukas

LCD ekranas

Jumpwire x daug

Bendra modelio kaina siekė apie 3 0 USD

5 žingsnis: 3D spausdinimas

Keletas dalių, tokių kaip atleidimo mechanizmas ir valdymo dėžutė, buvo pagaminti naudojant 3D spausdintuvą. Šiame sąraše yra visas dalių skaičius ir jų spausdinimo specifikacijos. Visi STL failai pateikiami aukščiau esančiame aplanke, kad prireikus būtų galima atlikti reikiamus pakeitimus.

Valdymo dėžutė x 1, užpildas 20%

Vadovas x 6, užpildymas 30%

Pabaiga x 1, užpildymas 20%

Pivot Arm x 1, 20% užpildymas

Pasukamasis laikiklis x 1, 30% užpildymas

Išleidimo gabalas x 1, užpildas 20%

Dalys buvo atspausdintos PLA, nes nėra ypatingo streso, veikiančio gabalus. Iš viso spausdinimas užtruko apie 40 valandų.

6 žingsnis: kelio pjovimas lazeriu

Įvairūs keliai, kuriuos sukūrėme „fusion 360“, buvo eksportuoti kaip.dxf failai, o po to iškirpti lazeriu. Kreivėms parinkti pasirinkome nepermatomą baltą 3 mm storio akrilą. Rankiniais įrankiais jį galima pagaminti net iš medžio, tačiau svarbu užtikrinti, kad pasirinkta medžiaga būtų standi, nes lankstumas gali turėti įtakos rutulių riedėjimui.

6 x Brachistochrono kreivė

2 x stačia kreivė

2 x tiesi kreivė

7 žingsnis: medžio pjovimas

Modelio rėmas pagamintas iš medžio. Mes pasirinkome 1 "4" pušį, nes likome iš ankstesnio projekto, nors galima naudoti pasirinktą medieną. Naudodami diskinį pjūklą ir kreiptuvą, supjaustome du medžio gabalus:

48 cm, tai yra kelio ilgis

31 cm, tai yra aukštis

Grubius kraštus nuvalėme lengvai šlifuodami ant diskinio šlifuoklio.

8 žingsnis: skylių gręžimas

Prieš sukdami du gabalus, pažymėkite medžio storį viename apatinio gabalo gale ir centruokite tris vienodo atstumo skyles. Mes panaudojome 5 mm antgalį, kad sukurtume bandomąją skylę ant abiejų medžio gabalų, ir įdubome skylę apatinėje dalyje, kad būtų galima įstumti varžto galvutę.

Pastaba: būkite atsargūs, kad neskaldytumėte vertikalios medienos gabalo, nes jis bus gręžiamas į galinius grūdus. Taip pat naudokite ilgus medinius varžtus, nes svarbu, kad rėmas nesvyruotų, o viršus dėl sverto.

9 veiksmas: radiatorių ir magnetų įdėjimas

Kadangi 3D spausdintų dalių siūlai laikui bėgant nusidėvi, nusprendėme įterpti radiatorius. Skylės yra šiek tiek per mažos, kad radiatorius geriau priliptų prie plastiko. Mes uždėjome M3 šilumos kriaukles virš skylių ir įstumėme jas lituoklio antgaliu. Karštis ištirpdo plastiką, įsileidžia dantis. Įsitikinkite, kad jie yra lygiaverčiai paviršiui ir įstrižai statmenai. Iš viso yra 8 dėmės srieginiams įdėklams: 4 dangteliui ir 4 „Arduino Uno“tvirtinimui.

Norėdami palengvinti laikmačio įrenginio montavimą, į dėžutę įdėjome magnetus, kad juos būtų lengviau nuimti, jei prireiks pakeitimų. Prieš stumdami į vietą magnetai turi orientuotis ta pačia kryptimi.s

10 žingsnis: Ribinių jungiklių pritvirtinimas

Trys galiniai jungikliai yra pritvirtinti vienoje laiko matuoklio pusėje, nukreiptoje į takų apačią. Taigi, rutuliams spustelėjus jungiklius, galima nustatyti, kuris kamuolys pasiekė pirmąjį, ir rodyti laiką LCD ekrane. Lituokite ant mažų vielos juostelių prie gnybtų ir užfiksuokite juos plyšiuose su CA klijais, nes jie neturėtų atsilaisvinti po nuolatinio smūgio.

11 veiksmas: LCD ekranas

Laikmačio bloko dangtelis turi stačiakampį iškirptę LCD ekranui ir skylę mygtukui „pradėti“. Užfiksavome ekraną karštais klijais, kol jis buvo lygus dangtelio paviršiui, ir pritvirtinome raudoną mygtuką su tvirtinimo veržle.

12 žingsnis: Elektronikos prijungimas

Laidai susideda iš įvairių komponentų prijungimo prie tinkamų „Arduino“kaiščių. Norėdami nustatyti dėžutę, vadovaukitės aukščiau pateikta prijungimo schema.

13 veiksmas: kodo įkėlimas

Brachistochrono projekto „Arduino“kodą rasite žemiau. Elektronikos skyriuje yra dvi angos, leidžiančios lengvai pasiekti „Arduino“programavimo prievadą ir maitinimo lizdą.

Laikrodžio paleidimui naudojamas raudonas mygtukas, pritvirtintas dėžutės viršuje. Kai rutuliai riedės žemyn kreivėmis ir suaktyvins galinius jungiklius, esančius apačioje, laikas registruojamas nuosekliai. Po visų trijų kamuoliukų smūgio LCD ekrane rodomi rezultatai, suderinti su atitinkamomis kreivėmis (nuotraukos pridėtos aukščiau). Pažymėję rezultatus, jei reikia antrojo skaitymo, tiesiog dar kartą paspauskite pagrindinį mygtuką, kad atnaujintumėte laikmatį ir pakartotumėte tą patį procesą.

14 žingsnis: 3D spausdinimo vadovai

Prieš pradedant atramines sienas, vadovai, atspausdinti 3D, turėjo 3 mm medžiagos pagrindą. Todėl, kai akrilo plokštės būtų įstumtos į vietą, tarp plokštės ir medinio rėmo atsirastų tarpas, mažinantis kelio stabilumą.

Todėl kreiptuvą reikia įterpti į medieną 3 mm. Kadangi neturėjome maršrutizatoriaus, nunešėme jį į vietinę dirbtuvę ir padarėme frezavimo staklėmis. Šiek tiek nušlifavus, spaudiniai priglunda ir mes galime juos pritvirtinti mediniais varžtais iš šono. Aukščiau pridedamas šablonas, skirtas 6 kreipiančiųjų išdėstymui ant medinio rėmo.

15 žingsnis: uždėkite kamštį ir laiko bloką

Kadangi laiko matavimo modulis buvo atskira sistema, mes nusprendėme greitai pritvirtinti ir nuimti sistemą naudojant magnetus. Tokiu būdu galima lengvai užprogramuoti, kad paprasčiausiai išimtų įrenginį. Užuot sukūrę šabloną magnetų, kuriuos reikia įterpti į medieną, padėčiai perduoti, mes tiesiog leidžiame jiems prisijungti prie ant dėžutės esančių, tada šiek tiek priklijuojame ir uždedame dėžutę ant medžio gabalo. Klijų žymės buvo perkeltos į medieną, leidžiančios greitai išgręžti skylutes tiksliose vietose. Galiausiai pritvirtinkite 3D atspausdintą kamštį, o paskirstymo blokas turi būti tvirtai prigludęs, tačiau šiek tiek patraukus

16 žingsnis: išleidimo mechanizmas

Atleidimo mechanizmas yra paprastas. Naudodami veržlę ir varžtą tvirtai prijunkite C sekciją prie šarnyrinės svirties ir padarykite jas viena saugia dalimi. Tada gręžkite dvi skyles vertikalios medienos viduryje ir pritvirtinkite laikiklį. Pasukite pasukamą veleną ir mechanizmas bus baigtas.

17 žingsnis: eksperimentas

Dabar, kai modelis yra paruoštas, galite atlikti šiuos eksperimentus

1 eksperimentas

Atsargiai stumkite akrilo plokštes tiesiame kelyje, brachistochrono kreivėje ir stačiame kelyje (tokia tvarka, kad gautumėte geriausią efektą). Tada patraukite skląstį aukštyn ir padėkite tris rutuliukus kreivės viršuje, įsitikindami, kad jie puikiai sulygiuoja vienas su kitu. Tvirtai laikykite juos nuleistu fiksatoriumi. Priverskite vieną mokinį atleisti kamuoliukus, o kitas paspauskite raudoną mygtuką, kad paleistumėte laiko sistemą. Galiausiai stebėkite, kaip rutuliai rieda taku, ir išanalizuokite laiko modulio rezultatus. Nustatyti fotoaparatą, kad būtų galima įrašyti sulėtintą filmuotą medžiagą, yra dar įdomiau, nes lenktynes galima pamatyti kadras po kadro.

2 eksperimentas

Kaip ir ankstesnio eksperimento skaidrė akrilo plokštėse, tačiau šį kartą visi keliai turi būti brachistonchrone kreivė. Atsargiai paprašykite mokinio šį kartą laikyti tris rutuliukus skirtingame aukštyje ir paspauskite raudoną mygtuką, kai rutuliai bus atleisti. Stebėkite nuostabią akimirką, kai kamuoliai puikiai išsirikiuoja prieš finišą, ir patvirtinkite pastebėjimus rezultatais.

18 žingsnis: Išvada

Brachistochrono modelio kūrimas yra praktinis būdas pamatyti stebuklingus mokslo veikimo būdus. Eksperimentus ne tik smagu žiūrėti ir įdomu, bet ir siūloma mokymosi aspektų sintezė. Nors projektas praktiškai ir teoriškai pirmiausia buvo skirtas aukštųjų mokyklų moksleiviams, šį demonstravimą gali lengvai suvokti jaunesni vaikai ir jis gali būti parodytas kaip supaprastintas pristatymas.

Norėtume paskatinti žmones daryti viską, ar tai būtų sėkmė, ar nesėkmė, nes dienos pabaigoje STEM visada smagu! Laimingas kūrimas!

Jei jums patiko instrukcijos, atsisakykite balsavimo klasės konkurse ir palikite atsiliepimą komentarų skiltyje.

Mokslo konkurso „Classroom“pagrindinis prizas